[2015년 대화고]

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[2학년 1학기 중간 미적1]

다음 극한값을 계산한 것으로 옳지 않은 것은? [4.3점]

②

① [eqn: lim_{x->0+}`{1 overx}=inf]	② [eqn: lim_{x->inf }`{1 overx}=inf]

③ [eqn: lim_{x->1}`{(x+2)}=3]	④ [eqn: lim_{x->3}`{(x^2 -2x+3)}=6]

⑤ [eqn: lim_x->inf {(root{x^2 -x} -x)} =- 1over2]

급수 [eqn: sum _{ n=1} ^{inf }{4^n +5^n}over7^n]의 합은? [4.3점]

①

① [eqn: 23over6]	② [eqn: 21over6]	③ [eqn: 24over7]

④ [eqn: 20 over7]	⑤ [eqn: 7over6]

구간 [eqn: [-2,```1]]에서 함수 [eqn: f(x)=x^2 +2x-1]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M+m]의 값은? [4.3점]

③

① [eqn: 2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: -1]	⑤ [eqn: -2]

함수 [eqn: f(x)=(x^2 +3)(x^2 +1)]의 도함수 [eqn: f`'(x)]로 옳은 것은? [4.3점]

④

① [eqn: 4x^2]	② [eqn: 4x^2 +1]	③ [eqn: x^4 +3]

④ [eqn: 4x(x ^2`+2)]	⑤ [eqn: x^2 (x^2 +4)]

함수 [eqn: f(x)=x^3 -x^2 +2x-1]에 대하여
[eqn: lim _{n -> INF } { `n` LEFT{ f` LEFT ( 2+ 1overn RIGHT )-f `LEFT (2- 1overn RIGHT) RIGHT }]의 값은? [4.4점]

⑤

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 20]

함수 [eqn: f(x)=cases{ax^2 +b&```(x>1)#4x+3&```(x LEQ1)] 가 모든 실수 [eqn: x]에서 미분가능할 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 값은? [4.4점]

②

① [eqn: cases{{a=5}#{b=2}]	② [eqn: cases{a=2#b=5]	③ [eqn: cases{a=2#b=3]

④ [eqn: cases{a=-2#b=-5]	⑤ [eqn: cases{a=-5#b=-2]

두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 [eqn: x=1]에서 연속일 때, 보기의 함수 중 [eqn: x=1]에서 항상 연속인 것만을 있는 대로 고른 것은? [4.4점]

①

ㄱ. [eqn: xf(x)]	ㄴ. [eqn: g(x^2 )]

ㄷ. [eqn: f(x) overg(x)]	ㄹ. [eqn: (f CIRCg)(x)]

① ㄱ, ㄴ	② ㄱ, ㄷ	③ ㄱ, ㄴ, ㄷ

④ ㄱ, ㄴ, ㄹ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(1)=2]이고
[eqn: (x-1)f(x) =x^2 +ax+b]를 만족시킬 때, [eqn: a], [eqn: b]의 값은? [4.4점]

①

① [eqn: cases{a=`0#b=-1]	② [eqn: cases{a=`1#b=-2]	③ [eqn: cases{a=`2#b=-3]

④ [eqn: cases{a=-1#b=`1]	⑤ [eqn: cases{a=-2#b=`0]

이차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수 [eqn: y=f(x)]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: lim_n->inf{LEFT(rootf(n) -n RIGHT)]의 값은? (단, [eqn: n]은 자연수) [4.5점]

③

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(1-x)=f(1+x)]

(나) [eqn: f(1) +f(-1)=6]

① [eqn: 2]	② [eqn: 0]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: -4]	⑤ [eqn: -5]

두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킬 때,
[eqn: lim_x->inf {f(x)+2g(x)}over{-2f(x)+6g(x)}]의 값은? [4.5점]

④

(가) [eqn: lim_x->inf f(x)=inf]

(나) [eqn: lim_x->inf LEFT{3f(x)-2g(x) RIGHT }=1]

① [eqn: 17over14]	② [eqn: 15over14]	③ [eqn: 6over7]

④ [eqn: 4over7]	⑤ [eqn: 1over7]

함수 [eqn: f(x)=x^2 +5]에 대하여 [eqn: lim_x->2 {f(x)-f(2)}over{f(x^2 )-f(4)]의 값은? [4.5점]

②

① [eqn: 1 over10]	② [eqn: 1 over8]	③ [eqn: 1over6]

④ [eqn: 1over4]	⑤ [eqn: 1over2]

다항식 [eqn: x^10 -x^6 +1]을 [eqn: (x+1)^2]으로 나누었을 때의
나머지는? [4.5점]

⑤

① [eqn: 4x-2]	② [eqn: 3x-2]	③ [eqn: 2x+4]

④ [eqn: -3x+4]	⑤ [eqn: -4x-3]

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(-1)=k],
[eqn: f(2) =k-2]를 만족시킬 때, 방정식 [eqn: x^2 f(x)=2x+1]이 열린 구간 [eqn: (-1,```2)]에서 적어도 하나의 실근을 갖도록 하는 정수 [eqn: k]의 개수는? [4.6점]

⑤

① [eqn: 10]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 4]

두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]의 그래프가 그림과 같고
[eqn: lim_x->-1+ g(f(x))=alpha],  [eqn: lim _{x -> 1-} f(g(x))=beta], [eqn: lim_x->1+ f(g(x))=gamma]일 때,
[eqn: 3alpha +2beta+gamma]의 값은? [4.6점]

②

① [eqn: -6]	② [eqn: -5]	③ [eqn: -2]

④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 2]

수열 [eqn: LEFT{a_n RIGHT]에 대하여 [eqn: sum _{ n =1 } ^{inf } LEFT{(n+1)a_n -{2n^2 -n+1}overn+2 RIGHT } `=3]일 때,
[eqn: lim_n->inf ({a_n}`^2 +3a_n -1)]의 값은? [4.6점]

③

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 17]

두 수열 [eqn: LEFT{a_n RIGHT], [eqn: LEFT{b_n RIGHT]에 대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.6점] (단, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_n b_n !=0], [eqn: alpha]는 상수)

②

ㄱ. [eqn: lim_n->inf a_n =inf], [eqn: lim_n->inf{b_n =inf]이면 수열 [eqn: LEFT{a_n overb_n RIGHT]은

수렴한다.

ㄴ. [eqn: lim_n->inf (a_n -b_n )=0]이고 [eqn: lim_n->inf a_n =9]이면

[eqn: lim_n->inf b_n =9]이다.

ㄷ. [eqn: lim_n->inf a_n b_n =alpha]이면, [eqn: lim_n->inf a_n], 또는 [eqn: lim_n->inf b_n]이

수렴한다.

ㄹ. 두 수열 [eqn: left{a _{n} +b _{n} right}], [eqn: left{a _{n} -b _{n} right}]이 모두 수렴하면

두 수열 [eqn: LEFT{a_n RIGHT], [eqn: LEFT{b_n RIGHT]도 모두 수렴한다.

① ㄱ, ㄴ	② ㄴ, ㄹ	③ ㄷ, ㄹ

④ ㄱ, ㄴ, ㄹ	⑤ ㄴ, ㄷ, ㄹ

모든 항이 양수인 두 수열 [eqn: LEFT{a_n RIGHT]과 [eqn: LEFT{b_n RIGHT]이 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: lim_n->inf b_n overa_n]의 값은? [4.7점]

④

(가) [eqn: lim_n->inf a_n overn = 3over4]

(나) [eqn: {6n^2 -1} over 2n < a_n +b_n < {6n^2 +1} over 2n] [eqn: (n=1,```2,```3,```CDOTS)]

① [eqn: 1 over4]	② [eqn: 3over4]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=0]에서 연속일 때, [eqn: a+b+n]의 값은? (단, [eqn: n]은 자연수) [4.7점]
[eqn: f(x)= {cases{{sqrt {ax+b} - sqrt {3x+1}}overx^n ```#````-2}} pile{(x != 0)##(x=0)}]

①

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

수렴하는 급수만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.7점]

③

ㄱ. [eqn: 1-1+ 1over2 - 1over2 + 1over3 - 1over3 + 1over4 - 1over4 + `cdotscdots]

ㄴ. [eqn: 1 + 1over2 + 1over3 + 1over4 + 1over 5 + 1over6 + 1over7 + cdotscdots]

ㄷ. [eqn: (root2 -root1 )+(root3 -root2 ) +(root4 -root3 ) +cdotscdots]

ㄹ. [eqn: 1over3 + LEFT(- 1over3 + 3over5 RIGHT) + LEFT(- 3over5 + 5over7 RIGHT)+LEFT(- 5over7 + 7over9 RIGHT)+cdotscdots]

① ㄱ, ㄴ	② ㄱ, ㄷ	③ ㄱ, ㄹ

④ ㄱ, ㄴ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ, ㄹ

다음 그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 6]인 사분원 [eqn: rmOAB]에
내접하는 정사각형 [eqn: {rmO}{rmA}_1 {rmC}_1 {rmB}_1]을 그리고, 사분원 [eqn: {rmO}{rmA}_1 {rmB}_1]에
내접하는 정사각형 [eqn: {rmO}{rmA}_2 {rmC}_2 {rmB}_2]를 그린다. 이와 같은 과정을
반복하여 사분원에 내접하는 정사각형을 한없이 그려갈 때,
정사각형 [eqn: {rmO}{rmA}_n {rmC}_n {rmB}_n]의 넓이를 [eqn: S_n]이라고 하자. 이 때 급수 [eqn: sum_n=1^inf S_n]의 합은? [4.7점]

⑤

① [eqn: 24]	② [eqn: 26]	③ [eqn: 28]

④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 36]

서술형

* 다음 문제를 잘 읽고 서술형 답란에 풀이과정과 답을 쓰시오.

(가) 함수 [eqn: y=f(x)]가 실수 [eqn: a]에 대하여 다음을 모두        만족시킬 때 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=a]에서 연속이라고       한다.

(ⅰ) 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=a]에서 정의되어 있다.

(ⅱ) 극한값 [eqn: lim_x->a f(x)]가 존재한다.

(ⅲ) [eqn: lim_x->a f(x)=f(a)]

(나) 함수 [eqn: y=f(x)]에 대해 [eqn: lim_h->0 {f(a+h)-f(a)}overh]값이 존       재하면 [eqn: y=f(x)]는 [eqn: x=a]에서 미분가능하다고 한       다.

(가)를 활용하여 함수 [eqn: f(x)= LEFT | x^2 -2x RIGHT |]에 대해 [eqn: x=2]에서의 연속성을 조사하시오. [5.0점]

연속

(나)를 활용하여 함수 [eqn: f(x)= LEFT | x^2 -2x RIGHT |]에 대해 [eqn: x=2]에서의 미분가능성을 조사하시오. [5.0점]

미분불가능

[2015년 대화고]

[2학년 1학기 중간 미적1]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com